Eine privat ausgestellte Arbeitsunfähigkeitsbescheinigung (AU) ist vollkommen legal, solange sie von einem approbierten Arzt ausgestellt wurde.
Der Unterschied zur "gesetzlichen" eAU liegt hauptsächlich in der Art der Ausstellung und der Übermittlung der Daten, nicht in der Gültigkeit als Nachweis der Arbeitsunfähigkeit.
Sie müssen diese Ihrem Arbeitgeber vorlegen. Die Tatsache, dass sie nicht elektronisch von der Krankenversicherung an den Arbeitgeber übermittelt wird, ändert nichts an ihrer rechtlichen Gültigkeit als Nachweis einer Arbeitsunfähigkeit.